CUET PG 2024 — Mathematics PYQ

Let $I={\int }_a^{b}xf(x)dx\cdots (1)$  

$\therefore I={\int }_a^b(a+b-x)f(a+b-x)dx$  

($\because {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$)  

$\Rightarrow I={\int }_a^b(a+b-x)f(x)dx$  

$\Rightarrow I=(a+b){\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}xf(x)dx\cdots (2)$  

$\Rightarrow I+I=(a+b){\int }_a^{b}f(x)dx$  

$\Rightarrow 2I=(a+b){\int }_a^{b}f(x)dx$  

$\Rightarrow I=\frac{a+b}{2}{\int }_a^{b}f(x)dx$