JEE 2023 — Mathematics PYQ

\begin{aligned}
 & =
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4}+\frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\frac{-\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=\mathbf{I} \\
 & ||\mathrm{P}^{\mathrm{T}}\mathrm{P}=\mathrm{I} \\
 & \because\mathrm{Q}=\mathrm{PAP}^{\mathrm{T}} \\
 & \Rightarrow\mathrm{Q}^{2007}=(\mathrm{PAP}^{\mathrm{T}})(\mathrm{PAP}^{\mathrm{T}}).........2007\mathrm{time} \\
 & =\mathrm{PA}^{2007}\mathrm{P}^{\mathrm{T}} \\
 & \mathrm{As,A}=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\
 & \Rightarrow\mathrm{A}^{2}=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1+0 & 1+1 \\
0+0 & 0+1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\
 & \mathrm{A}^{2007}=
\begin{bmatrix}
1 & 2007 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\
 & \mathrm{Hence,P^{T}Q^{2007}P=A^{2007}=
\begin{bmatrix}
1 & 2007 \\
0 & 1
\end{bmatrix}} \\
 & \Rightarrow
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2007 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\
 & \Rightarrow a=1,b=2007,c=0,d=1 \\
 & \therefore2a+b-3c-4d=2(1)+2007-3(0)-4(1) \\
 & =2+2007-4=2005
\end{aligned}