NIMCET 2017 — Mathematics PYQ

$\text{Concept:}$
$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$

$\text{Calculation:}$

$\text{Here, }\vec{a}=(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\text{ and }\vec{b}=(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$

$(\vec{a}+\vec{b})=(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})+(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$

$=4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4^2+1^2+(-1{)}^2}$

$=\sqrt{18}$

$=3\sqrt{2}$

$(\vec{a}-\vec{b})=(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})-(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$

$=-2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$

$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-2{)}^2+3^2+(-5{)}^2}$

$=\sqrt{38}$

$\text{Now,}$

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\cdot (-2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})=-8+3+5$

$|(\vec{a}+\vec{b})|,|(\vec{a}-\vec{b})|\cos \theta =0$

$\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{2}$

$\text{Hence, option (3) is correct.}$