NIMCET 2020 — Mathematics PYQ

Calculation:
Given:

$\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}$ is collinear with $\vec{\mathrm{d}}$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}})\times \vec{\mathrm{d}}=0$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}})\times \vec{\mathrm{d}}+\vec{\mathrm{d}}\times \vec{\mathrm{d}}=0(\because \vec{\mathrm{d}}\times \vec{\mathrm{d}}=0)$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{d}}=0$
Also given:
$\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}}$ is collinear with $\vec{\mathrm{a}}$
$$\Rightarrow (\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{a}}=0$$
$\Rightarrow \vec{\mathrm{a}}\times \vec{\mathrm{a}}+(\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{a}}=0$ $(\because \vec{\mathrm{a}}\times \vec{\mathrm{a}}=0)$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{a}}=0$ $\mathbf{On}$ adding ( i)  and ( i) :  $\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{a}}+(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{d}}=0$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{d}})=0$
$...(1\ddot{ı}\dot{ı})$
On subtracting ( i)  from ( ii) : 
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{a}}-(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times \vec{\mathrm{d}}=0$
$\Rightarrow (\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})\times (\vec{\mathrm{a}}-\vec{\mathrm{d}})=0$
From (iii) and (iv); it is clear that $(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}+\vec{\mathrm{d}})$ is collinear to $(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{d}})$ and $(\vec{\mathrm{a}}-\vec{\mathrm{d}})$ thus multiple option are correct.