NIMCET 2023 — Mathematics PYQ

$$\begin{array}{rlr}<br>\text{Sol.}& amp;\text{(c)}& \\ <br>& nbsp;& amp;\int x\sin x{\sec }^{3}xdx=\int x\tan x{\sec }^{2}xdxUsingintegrationbypart\\ <br>& nbsp;& amp;=[\mathrm{x}\int \mathrm{se}{\mathrm{c}}^2\mathrm{xtanxdx}]-\int \left(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dx}}\right]\mathrm{se}{\mathrm{c}}^2\mathrm{xtanxdx})\mathrm{dx}\\ <br>& nbsp;& amp;=\left[\mathbf{x}\frac{{\tan }^2\mathbf{x}}{2}\right]-\int \frac{{\tan }^2\mathbf{x}}{2}\mathrm{dx}\\ <br>& nbsp;& amp;=\frac{1}{2}[\mathrm{x}{\tan }^2\mathrm{x}-\int ({\sec }^2\mathrm{x}-1\left)\mathrm{dx}\right]\\ <br>& nbsp;& amp;=\frac{1}{2}[\mathrm{x}{\tan }^2\mathrm{x}-\tan \mathrm{x}+\mathrm{x}]+\mathrm{c}\\ <br>& nbsp;& amp;=\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}\right(1+{\tan }^2\mathrm{x})-\tan \mathrm{x}]+\mathrm{c}\\ <br>& nbsp;& amp;=\frac{1}{2}[\mathrm{x}{\sec }^{2}x-\tan x]+\mathrm{c}\\ <br>& nbsp;& amp;=\frac{1}{2}[\mathrm{f}(\mathrm{x}){\sec }^2\mathrm{x}+\mathrm{g}(\mathrm{x})(\frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\left)\right]+\mathrm{c}\\ <br>& nbsp;& amp;\mathrm{Hence},\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}:\mathrm{g}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}\\ <br>& nbsp;& amp;\mathrm{Hence}\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})=0<br>\end{array}$$